Question

(2007，安徽，17)如下图，在六面体ABCD－中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形是边长为1的正方形，⊥平面，⊥平面ABCD，．

(1)求证：与AC共面，与BD共面；

(2)求证：平面⊥平面；

(3)求二面角A--C的大小(用反三角函数值表示)．

Answer 1

答案：略
解析：

解析： 解法一(向量法)：以D为原点，以DA，DC，所在直线分别为x轴，Y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz如图，则有A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，(1，0，2)，(1，1，2)，(0，1，2)，(0，0，2)． (1)， ， ． 与平行，与平行， 于是与AC共面，与BD共面． (2)， ， ， 与DB是平面内的两条相交直线，∴AC⊥平面． 又平面过AC， ∴平面⊥平面． (3)， ．设为平面的法向量， ， 于是，取， 则． 设为平面的法向量， ， ． 于是取， 则． ． ∴二面角的大小为． 解法二(综合法)：(1)平面，平面ABCD， ∴，平面∥平面ABCD． 于是． 设E，F分别为DA，DC的中点，连结EF，， 有 ， 于是， 由DE=DF=1，得，故，与AC共面． 过点作平面ABCD于点O，则，连结OE，0F，于是． ． ． 所以点O在BD上，故与DB共面． (2)平面ABCD，，又(正方形的对角线互相垂直)，与BD是平面内的两条相交直线，∴AC⊥平面． 又平面过AC， ∴平面平面． (3)∵直线DB是直线在平面ABCD上的射影， AC⊥DB，根据三垂线定理，有． 过点A在平面内作于M，连结MC，MO，则平面AMC，于是， 所以，是二面角的一个平面角．根据勾股定理，有 ． ，有， ， 二面角的大小为．