Question

如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=．AD=2，BC=4，AA₁=2，E是DD₁的中点，F是平面B₁C₁E与直线AA₁的交点．
（1）证明：
（i）EF∥A₁D₁；
（ii）BA₁⊥平面B₁C₁EF；
（2）求BC₁与平面B₁C₁EF所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）
（i）先由C₁B₁∥A₁D₁证明C₁B₁∥平面ADD₁A₁，再由线面平行的性质定理得出C₁B₁∥EF，证出EF∥A₁D₁．
（ii）易通过证明B₁C₁⊥平面ABB₁A₁得出B₁C₁⊥BA₁，再由tan∠A₁B₁F=tan∠AA₁B=，即∠A₁B₁F=∠AA₁B，得出BA₁⊥B₁F．所以BA₁⊥平面B₁C₁EF；
（2）设BA₁与B₁F交点为H，连接C₁H，由（1）知BA₁⊥平面B₁C₁EF，所以∠BC₁H是BC₁与平面B₁C₁EF所成的角．在RT△BHC₁中求解即可．
解答：（1）证明（i）∵C₁B₁∥A₁D₁，C₁B₁?平面ADD₁A₁，∴C₁B₁∥平面ADD₁A₁，
又C₁B₁?平面B₁C₁EF，平面B₁C₁EF∩平面ADD₁A₁=EF，
∴C₁B₁∥EF，∴EF∥A₁D₁；
（ii）∵BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，∴BB₁⊥B₁C₁，
又∵B₁C₁⊥B₁A₁，
∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁，
∴B₁C₁⊥BA₁，
在矩形ABB₁A₁中，F是AA₁的中点，tan∠A₁B₁F=tan∠AA₁B=，即∠A₁B₁F=∠AA₁B，故BA₁⊥B₁F．
所以BA₁⊥平面B₁C₁EF；
（2）解：设BA₁与B₁F交点为H，
连接C₁H，由（1）知BA₁⊥平面B₁C₁EF，所以∠BC₁H是BC₁与平面B₁C₁EF所成的角．
在矩形AA₁B₁B中，AB=，AA₁=2，得BH=，
在RT△BHC₁中，BC₁=2，sin∠BC₁H==，
所以BC₁与平面B₁C₁EF所成的角的正弦值是．
点评：本题考查空间直线、平面位置故选的判定，线面角求解．考查空间想象能力、推理论证能力、转化、计算能力．