Question

在正△ABC中，E、F分别是AB、AC边上的点，满足（如图(1)）.

将△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，连结A₁B、A₁C（如图(2)）.

             

(1)                         (2)

（1）求证：A₁E⊥平面BEC；

（2）求直线A₁E与平面A₁BC所成角的大小.

Answer 1

解:不妨设正△ABC的边长为3，则(1)在题图(1)中，取BE中点D，连结DF，

∵==,

∴AE=1,AF=2.而∠A=60°，∴EF⊥AE.∵在题图(2)中有A₁E⊥EF,BE⊥EF,

∴∠A₁EB为二面角A₁EFB的平面角.

∵二面角A₁EFB为直二面角,∴A₁E⊥BE.

又∵BE∩EF=E,∴A₁E⊥平面BEC.

(2)过E作EH⊥BC于H，连结A₁H，作EO⊥A₁H于O，证明EO⊥平面A₁BC，在Rt△A₁EH中求得直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小为.