Question

14．在四棱锥P-ABCD中，已知DC∥AB，DC=2AB，E为棱PD的中点．
（1）求证：AE∥平面PBC；
（2）若PB⊥PC，PB⊥AB，求证：平面PAB⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）取PC中点E，连结EF、BF，推导出四边形ABFE是平行四边形，从而AE∥BF，由此能证明AE∥平面PBC．
（2）由DC∥AB，PB⊥PC，PB⊥AB，得PB⊥CD，从而PB⊥平面PCD，由此能证明平面PAB⊥平面PCD．

解答 证明：（1）取PC中点E，连结EF、BF，
∵在四棱锥P-ABCD中，DC∥AB，DC=2AB，E为棱PD的中点，
∴EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，AB$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}CD$，
∴EF$\underset{∥}{=}$AB，∴四边形ABFE是平行四边形，∴AE∥BF，
∵AE?平面PBC，BF?平面PBC，
∴AE∥平面PBC．
（2）∵DC∥AB，PB⊥PC，PB⊥AB，
∴PB⊥CD，
∵PC∩CD=C，∴PB⊥平面PCD，
∵PB?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD．

点评 本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．