Question

已知点P是椭圆+=1(a＞b＞0)上一点,F₁、F₂是椭圆的左、右焦点,若∠F₁PF₂=60°,且△F₁PF₂的面积为a².

(1)求此椭圆的离心率;

(2)若直线x-y=0与椭圆交于A、B两点,且·=-1,求此椭圆方程.

Answer 1

解：(1)如图,设|PF₁|=m,|PF₂|=n,则

 

由（2）得(m+n)²-3mn=4c²,把（1）（3）代入得4a²-3·a²=4c².

∴e=.

(2)∵e=,∴椭圆方程可设为+=1,

与直线方程联立有

∴

又·=-1,

(x₁+c,y₁)·(x₂+c,y₂)=-1,

∴(x₁+c)(x₂+c)+y₁y₂=-1.

∴x₁x₂+c(x₁+x₂)+c²+y₁y₂=-1(c²=2b²).

∴-2b²+b·0+2b²+(-)=-1.

∴b²=3.故椭圆方程为+=1.