Question

已知实数x，y满足y-x+1≤0，则（x+1）²+（y+1）²的最小值是

2

2

．

Answer 1

分析：由题意（x+1）²+（y+1）²的几何意义是点（x，y）与点（-1，-1）的距离的平方，（x+1）²+（y+1）²的最小值即为点（-2，-2）到直线y-x+1=0的距离的平方，由此问题转化为求点（-1，-1）到直线y-x+1=0的距离．

解答：解：由题意（x+1）²+（y+1）²的几何意义是点（x，y）与点（-1，-1）的距离的平方
实数x，y满足y-x+1≤0，即点（x，y）在阴影区域内运动，
∴两点（x，y）与点（-1，-1）的距离的最小值即为点（-1，-1）到直线y-x+1=0的距离
由于d=

|-1+1+1|

2

=

2

2

∴（x+1）²+（y+1）²的最小值为

2

2

．
故答案为：

2

2

．

点评：本题考查简单线性规划的应用，点到直线的距离公式，解题的关键是理解题意，将求（x+1）²+（y+1）²的最小值问题转化为点（-1，-1）到直线y-x+1=0的距离的平方，本题考查了转化的思想，数形结合的思想，本题考查析几何的根本问题，题目难度不大，但很有价值．