Question

已知函数f（x）=（x-1）²-aln|x-1|（a∈R，a≠0）．
（Ⅰ）当a=8时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[e+1，e²+1]上的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）
（1）当x＞1时，f（x）=（x-1）²-8ln（x-1），f′(x)=2(x-1)-

8

x-1

=

2(x-1)2-8

x-1

．
由f'（x）＞0得2（x-1）²-8＞0，解得x＞3或x＜-1．
注意到x＞1，所以函数f（x）的单调递增区间是（3，+∞）．
由f'（x）＜0得2（x-1）²-8＜0，解得-1＜x＜3，
注意到x＞1，所以函数f（x）的单调递减区间是（1，3）．
（2）当x＜1时，f（x）=（x-1）²-8ln（1-x），
f′(x)=2(x-1)+

8

1-x

=

-2(x-1)2+8

1-x

，
由f'（x）＞0得2（x-1）²-8＜0，解得-1＜x＜3，
注意到x＜1，所以函数f（x）的单调递增区间是（-1，1）．
由f'（x）＜0得2（x-1）²-8＞0，解得x＞3或x＜-1，
由x＜1，所以函数f（x）的单调递减区间是（-∞，-1）．
综上所述，函数f（x）的单调递增区间是（-1，1），（3，+∞）；
单调递减区间是（-∞，-1），（1，3）．（5分）

（Ⅱ）当x∈[e+1，e²+1]时，f（x）=（x-1）²-aln（x-1），
所以f′(x)=2(x-1)-

a

x-1

=

2(x-1)2-a

x-1

=

2x2-4x+2-a

x-1

，
设g（x）=2x²-4x+2-a．
（1）当a＜0时，有△＜0，此时g（x）＞0，所以f'（x）＞0，f（x）在[e+1，e²+1]上单调递增．
所以f（x）_min=f（e+1）=e²-a
（2）当a＞0时，△=16-4×2（2-a）=8a＞0．
令f'（x）＞0，即2x²-4x+2-a＞0，解得x＞1+

2a

2

或x＜1-

2a

2

（舍）；
令f'（x）＜0，即2x²-4x+2-a＜0，解得1-

2a

2

＜x＜1+

2a

2

．
①若1+

2a

2

≥e2+1，即a≥2e⁴时，f（x）在区间[e+1，e²+1]单调递减，
所以f（x）_min=f（e²+1）=e⁴-2a．
②若1+e＜1+

2a

2

＜e2+1，即2e²＜a＜2e⁴时，f（x）在区间[1+e，1+

2a

2

]上单调递减，
在区间[1+

2a

2

，1+e2]上单调递增，所以f(x)min=f(1+

2a

2

)=

a

2

-aln

2a

2

．
③若1+

2a

2

≤e+1，即0＜a≤2e²时，f（x）在区间[e+1，e²+1]单调递增，
所以f（x）_min=f（e+1）=e²-a．
综上所述，当a＜0或0＜a≤2e²时，f（x）_min=f（e+1）=e²-a；
当2e²＜a＜2e⁴时，f(x)min=

a

2

-aln

2a

2

；
当a≥2e⁴时，f（x）_min=e⁴-2a．（13分）