Question

已知函数f（x）=2sin²x+2

3

sinxcosx+1．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）求f（x）在[0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）将函数f（x）=2sin²x+2

3

sinxcosx+1化为（x）=2sin（2x-

π

6

）+2，即可求得其周期和最大值．
（2）由x∈[0，

π

2

]可得2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，利用正弦函数的单调性可求f（x）的值域．

解答：解：（1）因为f(x)=2sin2x+2

3

sinxcosx+1=1-cos2x+

3

sin2x+1…（2分）=2sin(2x-

π

6

)+2…（4分）
所以f（x）的最小正周期T=

2π

ω

=

2π

2

=π，最大值为4．…（7分）
（2）∵x∈[0，

π

2

]
∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，…（9分）
∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1 …（12分）
所f（x）在[0，

π

2

]上的值域[1，4]…（14分）

点评：本题考查三角函数的化简求值，着重考查降幂公式与辅助角公式的应用及正弦函数的函数的单调性质，属于中档题．