Question

如图，棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，BD＝．

(Ⅰ)求证：BD⊥平面PAC；

(Ⅱ)求二面角P－CD－B的大小；

(Ⅲ)求点C到平面PBD的距离．

Answer 1

答案：
解析：

方法一： 　　证：(Ⅰ)在Rt△BAD中，AD＝2，BD＝， 　　∴AB＝2，ABCD为正方形， 　　因此BD⊥AC． 　　∵PA⊥平面ABCD，BDÌ 平面ABCD， 　　∴BD⊥PA 　　又∵PA∩AC＝A 　　∴BD⊥平面PAC 　　解：(Ⅱ)由PA⊥面ABCD，知AD为PD在平面ABCD的射影，又CD⊥AD， 　　∴CD⊥PD，知∠PDA为二面角P－CD－B的平面角 　　又∵PA＝AD， 　　∴∠PDA＝45° 　　(Ⅲ)∵PA＝AB＝AD＝2　∴PB＝PD＝BD＝ 　　设C到面PBD的距离为d，由，有， 　　即， 　　得 　　方法二： 　　证：(Ⅰ)建立如图所示的直角坐标系， 　　则A(0，0，0)、D(0，2，0)、P(0，0，2)． 　　在Rt△BAD中，AD＝2，BD＝， 　　∴AB＝2． 　　∴B(2，0，0)、C(2，2，0)， 　　∴ 　　∵ 　　即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC＝A， 　　∴BD⊥平面PAC． 　　解：(Ⅱ)由(Ⅰ)得． 　　设平面PCD的法向量为，则， 　　即，∴ 　　故平面PCD的法向量可取为 　　∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量． 　　设二面角P－CD－B的大小为q ，依题意可得， 　　∴＝45°． 　　(Ⅲ)由(Ⅰ)得 　　设平面PBD的法向量为，则， 　　即，∴x＝y＝z故平面PBD的法向量可取为． 　　∵，∴C到面PBD的距离为