Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，已知，∠APB =∠ADB=60°。

（1）证明：平面PAC⊥平面PBD；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积；
（3）求PH与平面PAD所成的角的大小

Answer 1

解：（1）证明：因为PH是四棱锥P-ABCD的高， 所以AC⊥PH 又AC⊥BD， 所以AC⊥平面PBD， 又AC平面PAC 所以平面PAC⊥平面PBD。 （2）解：因为四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD， 所以HA=HB= 因为∠APB=∠ADB=60°， 所以PA=PB=，HD=HC=1 所以PH= 所以等腰梯形ABCD的面积为 所以四棱锥P-ABCD的体积为。
（3）解：过H作HE⊥AD于E，连接PE，如图， 则PE⊥AD ∴AD⊥平面PEH 又AD平面PAD， ∴平面PEH⊥平面PAD 过H作HG⊥PE于G，则HG⊥平面PAD ∴∠HPG为PH与平面PAD所成的角 ∵，DH=1 ∴AD=2 ∴ 又 ∴ 即 故PH与平面PAD所成的角为。