Question

已知f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0，且a≠1）
（1）求其定义域；
（2）解方程f（2x）=f^-1（x）．

Answer 1

解：（1）由已知条件，知a^x-1＞0，即a^x＞1．
故当a＞1时，x＞0，当0＜a＜1时，x＜0．
即当a＞1时，函数的定义域为（0，+∞），
当0＜a＜1时，函数的定义域为（-∞，0）．
（2）令y=loh_a（a^x-1），同a^y=a^x-1，
x=log_a（a^y+1），即f^-1（x）=log_a（a^x+1）．
∵f（2x）=f^-1（x），∴log_a（a^2x-1）=log_a（a^x+1），
即a^2x-1=a^x+1．
∴（a^x）²-a^x-2=0．
∴a^x=2，或a^x=-1（舍去）．
∴x=log_a2．
分析：（1）由已知条件，知a^x-1＞0，讨论底数a的范围，利用指数函数的单调性求出指数不等式的解集．
（2）先求出反函数f^-1（x），利用对数的性质，换元法解一元二次方程解出a^x，进而解出x．
点评：本题考查函数定义域的求法，求反函数以及利用换元法解一元二次方程，体现了分类讨论及转化的数学思想．