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已知椭圆 $数学公式$ 的离心率为 $数学公式$ ，长轴长为2 $数学公式$ ．
（1）求椭圆的方程；
（2）试直线y=kx+1交椭圆于不同的两点A、B，以AB为直径的圆恰过原点O，求直线方程．

解：（1）设椭圆的半焦距为c，
∵椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，长轴长为2 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∵a²=b²+c²
∴b=1 （2分）
∴所求椭圆方程为 $\text{[math]}$ （4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由 $\text{[math]}$
消去y并整理得（1+3k²）x²+6kx=0
则△=（6k）²-4（1+3k²）×0＞0，
解得k≠0 （5分）
故 $\text{[math]}$ ，x₁x₂=0 （8分）
∵以AB为直径的圆恰过原点O
∴ $\text{[math]}$
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1= $\text{[math]}$ （10分）．
∴ $\text{[math]}$
∴直线方程为 $\text{[math]}$ （12分）
分析：（1）根据椭圆的几何性质，求出几何量，即可得到椭圆的方程；
（2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合以AB为直径的圆恰过原点O，求得切线向量，即可求得直线方程．
点评：本题重点考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是借助于韦达定理，将以AB为直径的圆恰过原点O，转化为 $\text{[math]}$ ．

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