Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，S_n是数列{a_n}的前n项和，且4Sn=an2+2an-3．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求S_n值．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，再写一式，两式相减，可得数列{a_n}是以3为首项，2为公差的等差数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用等差数列的求和公式，可得结论．

解答：解：（1）当n=1时，a1=s1=

1

4

a

2 1

+

1

2

a1-

3

4

，解出a₁=3，
又4S_n=a_n²+2a_n-3              ①
当n≥2时，4s_n-1=

a

2 n-1

+2a_n-1-3    ②…（4分）
①-②：4an=

a

2 n

-

a

2 n-1

+2(an-an-1)，即

a

2 n

-

a

2 n-1

-2(an+an-1)=0，
∴(

a

n

+an-1)(an-an-1-2)=0，
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=2（n≥2），…（6分）
∴数列{a_n}是以3为首项，2为公差的等差数列，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．    …（7分）
（2）由（1）知a_n=2n+1，∴数列{a_n}是以3为首项，2为公差的等差数列，
∴Sn=3n+

n(3+2n+1)

2

=n(n+2)=n2+2n…..（12分）

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．