Question

15．已知定义在（0，$\frac{π}{2}$）上的函数f（x）的导函数为f′（x），且对于任意的x∈（0，$\frac{π}{2}$），都有f′（x）sinx＜f（x）cosx，则（　　）

• A． $\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$）＞$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$）
• B． f（$\frac{π}{3}$）＞f（1）
• C． $\sqrt{2}$f（$\frac{π}{6}$）＜f（$\frac{π}{4}$）
• D． $\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$）＜f（$\frac{π}{3}$）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，利用导数判断出函数g（x）的单调性，即可判断个选项．

解答 解：构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，则g′（x）=$\frac{f′（x）sinx-f（x）cosx}{si{n}^{2}x}$＜0在x∈（0，$\frac{π}{2}$）恒成立，
∴g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）单调递减，
∴g（$\frac{π}{6}$）＞g（$\frac{π}{4}$）＞g（1）＞g（$\frac{π}{3}$），
∴$\frac{f（\frac{π}{6}）}{\frac{1}{2}}$＞$\frac{f（\frac{π}{4}）}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$＞$\frac{f（1）}{sin1}$＞$\frac{f（\frac{π}{3}）}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
∴$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{6}$）＞f（$\frac{π}{4}$），$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$）＞f（$\frac{π}{3}$），$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$）＞$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$），sin$\frac{π}{3}$f（1）＞sin1f（$\frac{π}{3}$），故无法比较f（$\frac{π}{3}$）与f（1）
故选：A

点评 本题考查了导数和函数的单调性的关系，关键是构造函数，属于中档题．