Question

9．设T_n为数列{a_n}的前n项之积，即T_n=a₁a₂a₃…a_n-1a_n，若${a_1}=2，\frac{1}{{{a_n}-1}}-\frac{1}{{{a_{n-1}}-1}}=1$，当T_n=11时，n的值为10．

Answer 1

分析 由题意可得数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是以$\frac{1}{{a}_{1}-1}=1$为首项，以1为公差的等差数列，求其通项公式，可得数列{a_n}的通项公式，再由累积法求得T_n，则答案可求．

解答 解：由${a_1}=2，\frac{1}{{{a_n}-1}}-\frac{1}{{{a_{n-1}}-1}}=1$，
可得数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是以$\frac{1}{{a}_{1}-1}=1$为首项，以1为公差的等差数列，
则$\frac{1}{{a}_{n}-1}=1+（n-1）×1=n$，
∴${a}_{n}=1+\frac{1}{n}=\frac{n+1}{n}$，
则T_n=a₁a₂a₃…a_n-1a_n=$\frac{2}{1}•\frac{3}{2}…\frac{n+1}{n}=n+1$，
由T_n=n+1=11，得n=10．
故答案为：10．

点评 本题考查数列递推式，训练了利用累积法求数列的通项公式，是中档题．