Question

已知函数f(x)=

1

2

(x-1)2+㏑x-ax+a．
（I）若a=

3

2

，求函数f（x）的极值；
（II）若对任意的x∈（1，3），都有f（x）＞0成立，求a取值范围．

Answer 1

（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
f^′（x）=x-1+

1

x

-a，
当a=

3

2

时，f′(x)=x+

1

x

-

5

2

=

2x2-5x+2

2x

，
令f^′（x）=0，解得x=

1

2

或2．列表：

x	(0， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，2)	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	等单调递增

函数f（x）在x=

1

2

处取得极大值f(

1

2

)=-

1

8

-ln2，
函数f（x）在x=2处取得极小值f（2）=ln2-

1

2

；
（II）f′(x)=x+

1

x

-(1+a)，当x∈（1，3）时，(x+

1

x

)∈(2，

10

3

)，
（i）当1+a≤2，即a≤1时，x∈（1，3），f^′（x）＞0，函数f（x）在（1，3）是增函数，
?x∈（1，3），f（x）＞f（1）=0恒成立；                     
（ii）当1+a≥

10

3

，即a≥

7

3

时，x∈（1，3）时，f^′（x）＜0，函数f（x）在（1，3）是减函数，
?x∈（1，3），f（x）＜f（1）=0恒成立，不合题意，应舍去；
（iii）当2＜1+a＜

10

3

，即1＜a＜

7

3

时，x∈（1，3）时，f^′（x）先取负，再取0，最后取正，函f（x）在（1，3）先递减，再递增，而f（1）=0，∴?x∈（1，3），f（x）＞f（1）=0不能恒成立；
综上，a的取值范围是（-∞，1）．