Question

已知函数f（x）满足f(x)=2f(

1

x

)，当x∈[1，3]时，f（x）=lnx，若在区间[

1

3

，3]内，函数g（x）=f（x）-ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是

ln3

3

≤a＜

1

e

．

Answer 1

分析：可以根据函数f（x）满足f（x）=2f（

1

x

），求出x在[

1

3

，1]上的解析式，已知在区间[

1

3

，3]内，函数g（x）=f（x）-ax，有三个不同的零点，对g（x）进行求导，利用导数研究其单调性，从而求出a的范围．

解答：解：在区间[

1

3

，3]内，函数g（x）=f（x）-ax，有三个不同的零点，
①a＞0若x∈[1，3]时，f（x）=lnx，可得g（x）=lnx-ax，（x＞0）
g′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

，
若g′（x）＜0，可得x＞

1

a

，g（x）为减函数，
若g′（x）＞0，可得x＜

1

a

，g（x）为增函数，
此时f（x）必须在[1，3]上有两个交点，
∴

f( 1 a )＞0 f(3)≤0 f(1)≤0

，解得，

ln3

3

≤a＜

1

e

①
设

1

3

＜x＜1，可得1＜

1

x

＜3，
∴f（x）=2f（

1

x

）=2ln

1

x

，此时g（x）=-2lnx-ax，
g′（x）=-

2+ax

x

，
若g′（x）＞0，可得x＜-

1

a

＜0，g（x）为增函数
若g′（x）＜0，可得x＞-

1

a

，g（x）为减函数，
在[

1

3

，1]上有一个交点，则

f(- 2 a )＞0   f( 1 3 )≥0   f(1)≤0

，解得0＜a≤6ln3②
综上①②可得 

ln3

3

≤a＜

1

e

；
②若a＜0，对于x∈[1，3]时，g（x）=lnx-ax＞0，没有零点，不满足在区间[

1

3

，3]内，函数g（x）=f（x）-ax，有三个不同的零点，
综上：

ln3

3

≤a＜

1

e

．
故答案为：

ln3

3

≤a＜

1

e

．

点评：此题充分利用了分类讨论的思想，是一道综合题，难度比较大，需要排除a＜0时的情况，注意解方程的计算量比较大，注意学会如何分类讨论．