Question

设函数f（x）=

x2-1

．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）证明：函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析：（1）先求定义域，然后根据奇偶函数的定义进行判断；
（2）设1≤x₁＜x₂，只需利用作差证明f （x₁）＜f （x₂）；

解答：解：（1）f（x）为偶函数，理由如下：
由x²-1≥0得f（x）的定义域为（-∞，-1]∪[1，+∞），
又f（-x）=f（x），
所以f（x）为偶函数．
（2）设1≤x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

x12-1

-

x22-1

=

(x12-1)-(x22-1)

x12-1 + x22-1

=

x12-x22

x12-1 + x22-1

，
∵1≤x₁＜x₂，∴

x

2 1

-

x

2 2

＜0，

x12-1

+

x22-1

＞0，
∴f （x₁）-f （x₂）＜0，即f （x₁）＜f （x₂），
∴函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．

点评：本题考查函数奇偶性、单调性的判断证明，属中档题，定义是解决该类题目的基础．