Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+4在（-∞，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）当x≥0时，曲线y=f（x）总在直线y=a²x-4上方，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意得：f（x）在（-∞，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数，所以当x=0时，f（x）有极大值，即f′（x）=0，即b=0．
（Ⅱ）因为f（x）在（-∞，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数，所以，即a．因为曲线y=f（x）在直线y=a²x-4的上方，设g（x）=（x³+ax²+4）-（a²x-4），
所以在x∈[0，+∝）时，g（x）≥0恒成立．用导数求函数g（x）的最小值为g（-a），保证其大于0即可．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x³+ax²+bx+4，
∴f′（x）=3x²+2ax+b．
∵f（x）在（-∞，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数，
∴当x=0时，f（x）有极大值，即f′（x）=0，
∴b=0．
（Ⅱ）f′（x）=3x²+2ax=x（3x+2a），
∵f（x）在（-∞，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数，
∴，即a．
∵曲线y=f（x）在直线y=a²x-4的上方，
设g（x）=（x³+ax²+4）-（a²x-4），
∴在x∈[0，+∝）时，g（x）≥0恒成立．
∵g′（x）=3x²+2ax-a²=（3x-a）（x+a），
令g′（x）=0，两个根为-a，，且，

x	（0，-a）	-a	（-a，+∞）
g′（x）	-		+
g（x）	单调递减	极小值	单调递增

∴当x=-a时，g（x）有最小值g（-a）．
令g（-a）=（-a³+a³+4）-（-a³-4）＞0，
∴a³＞-8，由，
∴-2＜a．
点评：解决此类问题的关键是将不等式在某个区间上恒成立问题转化为函数在该区间上的最值问题，再利用导数求函数的最值，这也是高考考查的热点之一．