Question

（本小题满分14分）设函数

（Ⅰ）当时，求的最大值；

（Ⅱ）令，（），其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）当，，方程有唯一实数解，求正数的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意，知的定义域为（0，+∞），

当时，，

（2′）令=0，

解得．（∵）

因为有唯一解，所以，当时，

，此时单调递增；

当时，，此时单调递减。

所以的极大值为，此即为最大值        ………5分

（Ⅱ），，则有≤，在上恒成立，

所以≥，             

当时，取得最大值，所以≥…            ……9分

（Ⅲ）因为方程有唯一实数解，

所以有唯一实数解，

设，

则．令，．  

因为，，所以（舍去），，

当时，，在（0，）上单调递减，

当时，，在（，+∞）单调递增

当时，=0，取最小值．

则既

所以，因为，所以（*）

设函数，因为当时，

是增函数，所以至多有一解．

因为，所以方程（*）的解为，即

，解得．…14分