Question

如图：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=2，∠ACB=90°．E为BB₁的中点，D点在AB上且DE=

3

．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面A₁ABB₁；
（Ⅱ）求三棱锥A₁-CDE的体积．

Answer 1

（Ⅰ）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=2，∠ACB=90°，
∴△ACB为等腰直角三角形，∴AB=2

2

，
∵E为BB₁的中点，∴BE=1，
又DE=

3

，
∴BD=

2

，即D为AB的中点，
∴CD⊥AB．
又AA₁⊥CD，AA₁∩AB=A，
∴CD⊥平面A₁ABB₁．
（Ⅱ）∵CD⊥平面A₁ABB₁，
∴CD是三棱锥C-A₁DE的高，且CD=

2

．
S△ACD=

1

2

×

2

×2=

2

，S△BDE=

1

2

×

2

×1=

2

2

，
S△A1B1E=

1

2

×

2

×1=

2

2

，
∴S△A1DE=2×2

2

-S△A1B1E-S△ACD-S△BDE=4

2

-

2

-

2

2

-

2

2

=2

2

．
又VA1-CDE=VC-A1DE=

1

3

S△A1DE?CD=

1

3

×2

2

×

2

=

4

3

．
∴三棱锥A₁-CDE的体积为

4

3

．