Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

6

3

，短轴的一个端点到右焦点的距离为

3

（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点（0，2）直线l与C交于A，B，若∠AOB为锐角，求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的标准方程，结合离心率确定a，c的关系，根据短轴的一个端点到右焦点的距离确定a，进而根据a，b和c的关系确定b，椭圆方程可得．
（2）设直线方程为y=kx+2，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的数量积的坐标表示即可求得斜率的取值范围，从而解决问题．

解答：解：（1）由e2=

2

3

得a²=3b²，又由题意知a=

3

，所以b=1，所以

x2

3

+y2=1…（4分）
（2）设直线方程为y=kx+2，所以

y=kx+2 x2+3y2=3

⇒(3k 2+1)x2+12kx+9=0，…（2分）
由题意知△=144k²-36（3k²+1）＞0，解得k²＞1…（1分）
又

x1+x2= -12k 3k2+1 x1x2= 9 3k2+1

，由∠AOB为锐角可得，

OA

•

OB

＞0即x₁x₂+y₁y₂＞0…（2分）
所以（k²+1）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4＞0，代解得k2＜

13

3

…（2分）
综上可得1＜k2＜

13

3

…（1分）

点评：本题主要考查了椭圆的应用．解答的关键是利用待定系数法求椭圆方程及平面向量的基本计算．