Question

数列{a_n}满足a₁=0,a₂=2,a­_n+2=(1+cos²)a_n+4sin²,n=1,2,3,….

(Ⅰ)求a₃,a₄,并求数列{a_n}的通项公式；

(Ⅱ)设S_k=a₁+a₃+…+a_2k-1,T_k=a₂+a₄+…+a_2k,W_k=

求使W_k＞1的所有k的值，并说明理由.

Answer 1

解   (Ⅰ)因为a₁=0,a₂=2,所以a₃₌(1+cos²)a₁+4sin²=a₁+4=4,

a₄=(1+cos²π)a₂+4sin²π=2a₂=4.

一般地,当n=2k-1(kN^*)时,a_2k+1=[1+cos²]a_2k-1+4sin²=a_2k-1+4,即a_2k+1-a_2k-1=4.

所以数列{a_2k-1}是首项为0、公差为4的等差数列，因此a_2k-1=4(k-1).

当n=2k(kN^*)时,a_2k+2=(1+cos²)a_2k+4sin=2a_2k.

所以数列{a_2k }是首项为2、公比为2的等比数列，因此a_2k=2^k_.

故数列{a_n}的通项公式为a_n=

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，S_k=a₁+a₃+…+a_2k-1=0+4+…+4(k-1)=2k(k-1),

T_k=a₂+a₄+…+a_2k=2+2²+…+2^k=2^k+1-2,W_k=

于是W₁=0,W₂=1,W₃=,W₄=,W₅=,W₆=.

下面证明：当k≥6时，W_k＜1.

事实上，当k≥6时，W_k+1-W_k=即W_k+1＜W_k,又W₀＜1,所以当k≥6时，W_k＜1.

故满足W_k＞1的所有k的值为3,4,5.