Question

已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点，
（1）证明：PF⊥FD；
（2）判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD；        
（3）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A-PD-F的余弦值。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵ 平面， ，AB=1，AD=2， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 不妨令， ∵，， ∴， 即PF⊥FD。 （Ⅱ）设平面PFD的法向量为， 由，得， 令z=1，解得：， ∴， 设G点坐标为，， 则， 要使EG∥平面PFD，只需， 即， 得， 从而满足的点G即为所求。 （Ⅲ）∵AB⊥平面PAD， ∴是平面PAD的法向量，易得， ∵PA⊥平面ABCD， ∴是PB与平面ABCD所成的角， 得，PA=1， 平面PFD的法向量为， ∴， 故所求二面角A-PD-F的余弦值为。