Question

已知函数f(x)＝(x∈R)．

(1)当f(1)＝1时，求函数f(x)的单调区间；

(2)设关于x的方程f(x)＝的两个实根为x₁，x₂，且－1≤a≤1，求|x₁－x₂|的最大值；

(3)在(2)的条件下，若对于[－1，1]上的任意实数t，不等式m²＋tm＋1≥|x₁－x₂|恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由f(1)＝1得a＝－1，2分 　　(x)＝＝＝≥0　4分 　　－2≤x≤1，所以f(x)的减区间是(－∞，－2]和[1，＋∞)，增区间是[－2，1]　5分 　　(2)方程f(x)＝可化为x2－ax－2＝0，Δ＝a2＋8＞0 　　∴x2－ax－2＝0有两不同的实根x1，x2，则x1＋x2＝a，x1x2＝－2　7分 　　∴|x1－x2|＝ 　　∵－1≤a≤1，∴当a＝±1时，∴|x1－x2|max＝＝3　8分 　　(3)若不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|恒成立，由(2)可得m2＋tm＋1≥3，对t∈[－1，1]都成立m2＋tm－2≥0，t∈[－1，1]，设g(t)＝m2＋tm－2　9分 　　若使t∈[－1，1]时g(t)≥0都成立，则　11分 　　解得：m≥2或m≤－2，所以m的取值范围是m≥2或m≤－2　12分