Question

已知函数f（x）=（e为自然对数的底数）．
（I ）若函数f（x）有极值，求实数a的取值范围；
（II）若a=1，m＞4（ln2-1），求证：当x＞0时，f（x）＞．

Answer 1

（Ⅰ）解：由f（x）=，可得，…．（2分）
依题意，需方程1+ax²-2ax=0在x∈R上有两个不等实根，
则：，…（4分）
解得：a＞1或a＜0．…（5分）
（Ⅱ）证明：若a=1，f（x）=，
∴f（x）-=，
设h（x）=2e^x-2x²+mx-2，∴h′（x）=2e^x-4x+m，
设g（x）=2e^x-4x+m（x＞0），g′（x）=2e^x-4，…（7分）
令g′（x）＜0，则0＜ln2；令g′（x）＞0，则x＞ln2；
∴函数g（x）在（0，ln2）上单调减，在（ln2，+∞）上单调增，
∴g（x）_min=g（ln2）=4-4ln2+m，
∴h′（x）≥4-4ln2+m，…（9分）
∵m＞4（ln2-1），∴h′（x）≥4-4ln2+m＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵h（0）=0，
∴h（x）＞0，…（11分）
∵1+x²＞0，∴＞0，
∴f（x）-=＞0，
即f（x）＞．…（12分）
分析：（Ⅰ）求导函数可得，函数f（x）有极值，需方程1+ax²-2ax=0在x∈R上有两个不等实根，从而可求实数a的取值范围；
（Ⅱ）f（x）-=，设h（x）=2e^x-2x²+mx-2，证明h（x）在（0，+∞）上单调递增，即可证得结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查不等式的证明，考查函数思想的运用，正确构造函数，确定函数的单调性是关键．