Question

（2007•肇庆二模）设a为正实数，函数f（x）=x³-ax²-a²x+1，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）设函数y=f（x）至多有两个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对函数求导，由题意可得，令f'（x）=3x²-2ax-a²=0，得x1=-

a

3

，x2=a(a＞0)，讨论函数的单调性得到函数的极值；
（2）分类讨论，当极小值f（a）=1-a³≥0，或极小值f（a）=1-a³＜0，函数的零点个数，
进而得到函数y=f（x）至多有两个零点时，实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=x³-ax²-a²x+1，得f'（x）=3x²-2ax-a²．（2分）
令f'（x）=3x²-2ax-a²=0，得x1=-

a

3

，x2=a(a＞0)，

x	(-∞，- a 3 )	- a 3	(- a 3 ，a)	a	（a，+∞）
f（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大	减	极小	增

（5分）
∴f(x)极大=f(-

a

3

)=(-

a

3

)3-a(-

a

3

)2-a2×(-

a

3

)+1=

5

27

a3+1（6分）
f(x)极小=f(a)=a3-a3-a3+1=1-a3（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）在(-∞，-

a

3

)上递增，在(-

a

3

，a)上递减，在（a，+∞）上递增，
f(x)极大=f(-

a

3

)=

5

27

a3+1＞0(a＞0)，f(x)极小=f(a)=a3-a3-a3+1=1-a3（9分）
当极小值f（a）=1-a³≥0，即0＜a≤1时，y=f（x）在x∈(-

a

3

，+∞)上有1个或0个零点，
此时f（-1）=a²-a=a（a-1）≤0，∴y=f（x）在x∈(-∞，-

a

3

)上有1个零点，
∴0＜a≤1时，y=f（x）有1个或2个零点；                         （11分）
当极小值f（a）=1-a³＜0，即a＞1时，y=f（x）在x∈(-

a

3

，+∞)上有2个零点，
此时f（-a）=1-a³＜0，y=f（x）在x∈(-∞，-

a

3

)上有1个零点，
∴当a＞1时，y=f（x）有3个零点；                                 （13分）
综上，若函数y=f（x）至多有两个零点，则a的取值范围是a∈（0，1]．（14分）

点评：本题主要考查了利用函数的导数研究函数的单调性，函数的极值与最值的求解及函数的恒成立与函数的最值的相互转化关系的应用．