Question

已知函数f（x）=x³+ax²+x+1（a∈R）
（1）若f（x）是R上的单调函数，求a的取值范围；   
（2）若x=1是f（x）的一个极值点，求f（x）在x∈[t，1]（t＜1）上的最小值．

Answer 1

分析：（1）先求导函数，然后根据f（x）是R上的单调函数，则f'（x）≥0恒成立，然后利用判别式建立不等关系，解之即可；
（2）根据x=1是f（x）的一个极值点则f'（1）=0求出a的值，然后利用导数研究该函数的单调性，讨论t的范围，从而求出函数的最小值．

解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax+1，
∵f（x）是R上的单调函数
∴f'（x）≥0恒成立即△=4a²-12≤0
解得-

3

≤a≤

3

（2）∵x=1是f（x）的一个极值点
∴f'（1）=4+2a=0即a=-2
∴f'（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1）＞0
解得x＜

1

3

或x＞1
f'（x）＜0解得

1

3

＜x＜1
故f（x）在（-∞，

1

3

）上递增，在（

1

3

，1）上递减，（1，+∞）上递增
又f（0）=f（1）=1
∴f（x）_min=

f(1)=1        ，0≤t＜1 f(t)=t3-2t2+t+1，t＜0

点评：本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，以及利用导数研究函数的极值，同时考查了转化的思想和数形结合的思想，属于中档题．