Question

已知双曲线=1(a＞0,b＞0)的离心率e=,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点间的距离为,直线y=kx+m(k≠0,m≠0)与双曲线交于不同的两点C、D，且C、D两点同在以A为圆心的一个圆上.

（1）求此双曲线方程；

（2）求k,m的关系；

（3）求m的取值范围.

Answer 1

解:（1）过A（0，-b）,B(a,0)的直线方程为bx-ay-ab=0.由距离公式得,又e=,

解得b=1,a=3.所以，双曲线方程为-y²=1.

（2）由消去y，得（3k²-1）x²+6kmx+3(m²+1)=0①

从题设知3k²-1≠0,Δ=(6km)²-12(3k²-1)(m²+1)＞0

∴m²-3k²+1＞0.②

设C（x₁,y₁）,D(x₂,y₂)，CD中点P（x₃,y₃）,

∵C、D两点在以A为圆心的同一个圆上，∴P点为CD中点，且AP⊥CD.

从①式得x₁+x₂=,所以x₃=.

由P(x₃,y₃)在直线y=kx+m上，得y₃=kx₃+m=.

所以k_AP=,

由于AP⊥CD,故=-1,

化简得3k²=4m+1,③

综上得k、m间的关系：3k²=4m+1,且m²-3k²+1＞0.

（3）由3k²=4m+1＞0(k≠0),得m＞.

由消去k，得m²-(4m+1)+1＞0,

即m²-4m＞0.解得m＜0,或m＞4.

所以＜m＜0,或m＞4.