Question

14．已知函数f（x）=$\frac{e（x-1）}{{e}^{x}}$，若存在两对关于y轴对称的点分别再直线y=k（x+1）（k≠0）和函数y=f（x）的图象上，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （0，+∞）
• C． （0，1）∪（1，+∞）
• D． （-∞，-1）∪（-1，0）

Answer 1

分析 设（x₀，y₀）在y=k（x+1）上，则（x₀，y₀）关于y轴对称点为（-x₀，y₀），联立方程求出k=-$\frac{e}{{e}^{-{x}_{0}}}$＜0或x₀=-1，再根据另一个根不为-1，则k≠-1
问题得以解决．

解答 解：设（x₀，y₀）在y=k（x+1）上，
则（x₀，y₀）关于y轴对称点为（-x₀，y₀），
∴y₀=k（x₀+1），
y₀=$\frac{e（-{x}_{0}-1）}{{e}^{-{x}_{0}}}$，
∴k（x₀+1）=$\frac{e（-{x}_{0}-1）}{{e}^{-{x}_{0}}}$=$\frac{-e（{x}_{0}+1）}{{e}^{-{x}_{0}}}$
∴k=-$\frac{e}{{e}^{-{x}_{0}}}$＜0或x₀=-1，
则x₀=-1为其中一个根，
又另一个根不为-1，则k≠-1，
故k＜0且k≠-1，
故选：D

点评 本题考查了函数零点的问题以及函数的对称性，属于中档题．