Question

平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证这n条直线把平面分成f（n）=个部分.

Answer 1

证明：（1）当n=1时，一条直线将平面分成两个部分，而f（1）==2，∴命题成立.

（2）假设当n=k时，命题成立，即k条直线把平面分成f（k）=个部分.

则当n=k+1时，即增加一条直线l，因为任何两条直线不平行，所以l与k条直线都相交有k个交点；又因为任何三条不共点，所以这k个交点不同于k条直线的交点，且k个交点也互不相同.如此这k个交点把直线l分成k+1段，每一段把它所在的平面区域分为两部分，故新增加的平面分为k+1部分.

∴f（k+1）=f（k）+k+1=+k+1

=

=.

∴n=k+1时命题成立.

由（1）（2）可知，当n∈N^*时，命题成立.

点评：用数学归纳法证明几何问题，重难点是处理好当n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立.而本题的关键是第k+1条直线，分出多少个平面，证明中巧妙地转化为该直线被分成多少段的问题.