Question

如图，在棱长为2的正方体ABCD－中，M为AB的中点，E为的中点，(说明：原图没有线段BC₁，EO，AC₁，请你自己在使用时将图修改一下)

   （Ⅰ）求证：；

   （Ⅱ）求点M到平面DBC的距离；

   （Ⅲ）求二面角M－B₁C－D的大小。

Answer 1

解：（Ⅰ）连接，依题意可得为的中点，连接，设交于点，

又为的中点，

∴．

在正方形中，，

∴．

   （Ⅱ），，

面，又，

　　面，∴为所求距离．

又正方体的棱长为，，．

因此，点到平面的距离为．

   （也可由体积相等，求得距离为）

  （Ⅲ）连接，，则，而，∴，

    由（Ⅱ）知面，∴为在平面内的射影，

由三垂线定理知，

所以为二面角的平面角．

在中，，，

．

所以，二面角的大小为．