Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=(p-2)+pa_n,n∈N^*,p＞1,且p≠2.

(1)证明{a_n}是等比数列;

(2)对一切自然数n,当a_n+1＞a_n或a_n+1＜a_n时,分别确定p的取值范围.

Answer 1

分析：可从已知式S_n=(p-2)+pa_n入手推出比式=常数,即可证得{a_n}为等比数列.

    在{a_n}是等比数列的基础上就可得到通项a_n,从而由解不等式a_n+1＞a_n或a_n+1＜a_n分别确定出p的范围.

(1)证明：∵S_n=(p-2)+pa_n,

S_n+1=(p-2)+pa_n+1,

∴S_n+1-S_n=a_n+1=pa_n+1-pa_n(n≥1).

∴(p-1)a_n+1=pa_n.

∵p＞1,

∴p-1＞0.

∴=.

∴{a_n}是以为公比的等比数列.

(2)解：a₁=S₁=(p-2)+pa₁,

∴a₁=.

∴a_n=()^n-1.

    若a_n+1＞a_n时,a_n+1-a_n=()^n-1(-1)＞0.

    又∵p＞1,∴＞1.只需2-p＞0,

∴1＜p＜2.

    若a_n+1＜a_n,只需2-p＜0,即p＞2.