Question

已知l被l₁：3x+4y-7=0，l₂：3x+4y+8=0的截得的线段长为

15

4

，且l过点P（2，3），求l的方程．

Answer 1

分析：分直线l的斜率存在和不存在讨论，斜率不存在时联立直线l和给出的两直线方程，求出交点，验证是否符合条件；斜率存在时设出直线方程，和已知两直线方程联立，求出交点，由两点间的距离公式求k的值，则直线l的方程可求．

解答：解：当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=2，
联立

x=2 3x+4y-7=0

，解得

x=2 y= 1 4

，
∴两直线交点为(2，

1

4

)．
联立

x=2 3x+4y+8=0

，解得

x=2 y=- 7 2

，
∴两直线交点坐标为(2，-

7

2

)．
∴直线l被l₁：3x+4y-7=0，l₂：3x+4y+8=0的截得的线段长为

15

4

，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-3=k（x-2），
联立

y-3=k(x-2) 3x+4y-7=0

，解得

x= 8k-5 4k+3 y= k+9 4k+3

，
∴两条直线的交点坐标为(

8k-5

4k+3

，

k+9

4k+3

)．
联立

y-3=k(x-2) 3x+4y+8=0

，解得

x= 8k-20 4k+3 y= -14k+9 4k+3

，
∴两条直线的交点坐标为(

8k-20

4k+3

，

-14k+9

4k+3

)．
代入两点间的距离公式得：(

8k-5

4k+3

-

8k-20

4k+3

)2+(

k+9

4k+3

-

-14k+9

4k+3

)2=(

15

4

)2，
解得：k=

7

24

．
∴直线l的方程为：y-3=

7

24

(x-2)，即7x-24y+58=0．
综上，直线l的方程为：x=2或7x-24y+58=0．

点评：本题考查了两条直线的交点坐标，考查了直线的点斜式方程，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础的计算题．