Question

已知正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁，面对角线AB₁，BC₁上分别有点E，F，且B₁E＝C₁F．求证：EF∥平面ABCD．

Answer 1

答案：
解析：

分析：要在平面ABCD内找一条直线与直线EF平行，可根据正方体中的垂直关系，通过作EM⊥AB，FN⊥BC来构成一个平行四边形，从而找到所要的直线． 　　证明：如图，过E，F分别作AB，BC的垂线，垂足分别为M，N，连接MN． 　　因为BB1⊥AB，BB1⊥BC， 　　所以EM∥BB1，FN∥BB1． 　　所以EM∥FN． 　　因为AB1＝BC1，B1E＝C1F， 　　所以AE＝BF． 　　又∠B1AB＝∠C1BC＝45°， 　　所以Rt△AME≌Rt△BNF， 　　所以EM＝FN． 　　所以四边形MNFE是平行四边形， 　　所以EF∥MN． 　　又MN平面ABCD，EF平面ABCD， 　　所以EF∥平面ABCD． 　　点评：由已知想性质，由求证想判定，两者结合起来考虑，这是证明位置关系问题常用的解题思路．