Question

已知函数f（x）=|x²-4x+3|．
（1）求函数f（x）的单调区间，并指出其增减性；
（2）若关于x的方程f（x）-a=x至少有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据绝对值的意义，将函数化成分段函数形式，再结合函数的图象即可得到函数的单调区间；
（2）关于x的方程f（x）-a=x即f（x）=x+a，将两个方程联解，结合一元二次方程根的判断式，得当a=-

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时直线y=x+a与曲线y=-x²+4x-3相切于点A（

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，

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）．再根据a=-1时，直线y=x+a经过点B（1，0）与y=f（x）图象也有三个公共点，由此结合函数图象的变化，即可得到实数a的取值范围．

解答：解：（1）f（x）=|x²-4x+3|=

x2-4x+3     (x≤1) -x2+4x-3    (1＜x＜3) x2-4x+3      (x≥3)

∴当x≤1时，函数为减函数；当1≤x≤2时，函数为增函数；
当2≤x≤3时，函数为减函数；当x≥3时，函数为增函数
由此可得：函数的单调递增区间为[1，2]和[3，+∞），
递减区间为（-∞，1]和[2，3]
（2）关于x的方程f（x）-a=x即f（x）=x+a，
由y=x+a和y=-x²+4x-3，消去y，得x²-3x+3+a=0，
由△=9-4（3+a）=0，得a=-

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，
∴当a=-

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时，直线y=x+a与曲线y=-x²+4x-3相切于点A（

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，

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），
又∵直线y=x+a经过点B（1，0）时，两图象也有三个公共点，此时a=-1
∴当直线y=x+a位于点A、B之间（含边界）时，两图象至少有三个不同的交点
由此，结合函数图象可得a∈[-1，-

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]．

点评：本题给出含有绝对值的二次函数形式，讨论函数的单调性并求关于x的方程根的个数，着重考查了函数的单调性和二次函数图象与直线的位置关系等知识点，属于中档题．