Question

已知函数f （x）=3sin²ax+

3

sin ax cos ax+2cos²ax的周期为π，其中a＞0．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）当x∈[-

π

12

，

π

2

]上时求f （x）的单调递增区间及值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式进行化简整理，进而利用正弦函数的性质求得函数的周期，即可求a的值；
（Ⅱ）整体思维，利用正弦函数的单调性，结合x∈[-

π

12

，

π

2

]，可得单调增区间；确定2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，可得函数的值域．

解答：解：（Ⅰ）由题意得f（x）=

3

2

（1-cos 2ax）+

3

2

sin 2ax+（1+cos 2ax）=

3

2

sin 2ax-

1

2

cos 2ax+

5

2

=sin（2ax-

π

6

）+

5

2

．
因为f （x）的周期为π，a＞0，所以a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x-

π

6

）+

5

2

令2x-

π

6

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]（k∈Z），可得x∈[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z），
∵x∈[-

π

12

，

π

2

]，∴当x∈[-

π

12

，

π

2

]上时，f （x）的单调递增区间为[-

π

12

，

π

3

]；
∵x∈[-

π

12

，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]
∴sin（2x-

π

6

）∈[-

3

2

，1]
∴f（x）的值域为[

5

2

-

3

2

，

7

2

]．

点评：本题考查三角函数的解析式和有关性质，考查学生的计算能力，属于中档题．