Question

如下图，已知：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，FE∶FD=4∶3，(1)试说明：AF=DF；(2)求∠AED的正弦值；(3)如果BD=10，求△ABC的面积．

Answer 1

答案：略
解析：

解：(1)∵∠ADE=∠B＋∠BAD，∠DAE=∠DAC＋∠CAE，又∠BAD=∠DAC，∠B=∠CAE，∴∠ADE=∠DAE，∴AE=DE．又DE是⊙O的直径． ∴∠DFE=90°，∴AF=DF． (2)过A作AG⊥BE于G，∵FE∶FD=4∶3，设EF=4x，则FD=3x，在Rt△DFE中，DE=5x， ∴AE=5x，AF=DF=3x．∵， ∴， ∴． (3)由∠B=∠CAE，∠AEC=∠BEA，∴△AEC∽△BEA，∴， ∴．∴BD=5x，∴5x=10，∴x=2，从而， ∴．

提示：

分析：(1)注意到EF⊥AD，若AF=DF，则∠EAD=∠EDA；(2)要求∠AED的正弦值，可考虑把∠AED放到一个直角三角形中去．