Question

已知cos（α+β）=

4

5

，cos（α-β）=-

4

5

，且

3

2

π＜α+β＜2π，

π

2

＜α-β＜π，分别求cos 2α和cos2β的值．

Answer 1

分析：本题考查角的变换，条件中所给的两个角的和和差，经过角的变换变为其中一个角的二倍，根据角的范围，解出要用的三角函数值，代入求出结果．

解答：解：∵cos（α+β）=

4

5

，

3

2

π＜α+β＜2π
∴sin（α+β）=-

3

5

，
∵cos（α-β）=-

4

5

，

π

2

＜α-β＜π
∴sin（α-β）=

3

5

，
cos2α=cos[（α+β）+（α-β）]
=

4

5

×(-

4

5

)-

3

5

×(-

3

5

)=-

7

25

cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]=

4

5

×(-

4

5

)+

3

5

×(-

3

5

)=-1．

点评：本题考查角的变换，已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值．在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的．有时由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种．