Question

已知函数．，其中a，b∈R
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若对于任意的，不等式f（x）≤10在上恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；讨论函数f（x）的单调性即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在[，1]上的最大值为与f（1）中的较大者，对于任意的a∈[，2]，不等式f（x）≤10在[，1]上恒成立，利用函数的最值列出关于a，b的不等关系，从而得满足条件的b的取值范围．
解答：解：（Ⅰ），
当a≤0时，显然f'（x）＞0（x≠0），这时f（x）在（-∞，0），（0，+∞）内是增函数；
当a＞0时，令f'（x）=0，解得x=，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-）	-	（-，0）	（0，）		（，+∞）
f'（x）	+		-	-		+
f（x）	↗	极大值	↘	↘	极小值	↗

所以f（x）在（-∞，-），（，+∞）内是增函数，在（-，0），（0，）内是减函数
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在[，1]上的最大值为与f（1）中的较大者，对于任意的a∈[，2]，不等式f（x）≤10在[，1]上恒成立，当且仅当，即，对任意的a∈[，2]成立．从而得b≤，所以满足条件的b的取值范围是（-∞，]．
点评：本题考查了函数的单调性，利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定函数的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．