Question

若函数f(x)=

log2x，x＞0 log 1 2 (-x)，x＜0

，若a?f（a+1）＞0，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（-1，0）∪（0，+∞）
• B、（-∞，-1）∪（1，+∞）
• C、（-∞，-2）∪（-1，0）∪（0，+∞）
• D、（-2，-1）∪（0，+∞）

Answer 1

分析：根据分段函数的解析式，按照a+1＞0和a+1＜0进行分类讨论，利用对数函数的单调性，分别列出不等式进行求解，最后将两种情况的答案取并集即可得到实数a的取值范围．

解答：解：∵函数f(x)=

log2x，x＞0 log 1 2 (-x)，x＜0

，
①当a+1＞0，即a＞-1时，f（a+1）=log₂（a+1），
∴a•f（a+1）＞0，即alog₂（a+1）＞0，
∴

-1＜a＜0 log2(a+1)＜0

或

a＞0 log2(a+1)＞0

，
即

-1＜a＜0 a+1＜1

或

a＞0 a+1＞1

，
解得-1＜a＜0或a＞0，
故实数a的取值范围是（-1，0）∪（0，+∞）；
②当∴a+1＜0，即a＜-1时，f（a+1）=log

1

2

(-a-1)，
∴a•f（a+1）＞0，
即alog

1

2

(-a-1)＞0，
∴log

1

2

(-a-1)＜0，
即log

1

2

(-a-1)＜log

1

2

1，
∴-a-1＞1，解得a＜-2，
故实数a的取值范围是（-∞，-2）．
综合①②可得，实数a的取值范围是（-∞，-2）∪（-1，0）∪（0，+∞）．
故选：C．

点评：本题考查了对数函数的图象与性质，查了分段函数问题．对于对数函数不等式问题，解题的关键在于化为同底的对数函数，应用对数函数的单调性进行求解．对于分段函数问题，一般选用分类讨论和数形结合的思想方法进行求解．属于中档题．