Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱AB和BC的中点，EF交BD于H．

(1)求二面角B₁－EF－B的正切值；

(2)试在棱B₁B上找一点M，使D₁M⊥平面EFB₁，并证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)连AC、B1H，则EF∥AC， 　　∵AC⊥BD，所以BD⊥EF． 　　∵B1B⊥平面ABCD，所以B1H⊥EF， 　　∴∠B1HB为二面角B1－EF－B的平面角　　2分 　　在 　　 　　故二面角B1－EF－B的正切值为　　4分 　　(2)在棱B1B上取中点M，连D1M、C1M． 　　∵EF⊥平面B1BDD1， 　　所以EF⊥D1M　　6分 　　在正方形BB1C1C中，因为M、F分别为BB1、BC的中点， 　　∴B1F⊥C1M　又因为D1C1⊥平面BCC1B1，所以B1F⊥D1C1， 　　所以B1F⊥D1M， 　　∴D1M⊥平面EFB1　　8分 　　(3)设D1M与平面EFB1交于点N，则D1N为点D1到平面EFB1的距离． 　　在Rt△MB1D1中，　　10分 　　 　　故点D1到平面EFB1的距离为　　12分 　　解二：(1)在正方体中，以DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系 　　则 　　　　2分 　　设平面EFB1的一个法向量为 　　 　　故二面角B1－EF－B的正切值为　　6分 　　(2)设 　　 　　　　12分