Question

已知函数f（x）=ax²+bx+C（a＞b＞C）的图象上有两点 A（m₁，f（m₁））、B（m₂，f（m₂）），且满足 f（1）=0，a²+（f（m₁）+f（m₂））?a+f（m₁）•f（m₂）=0．
（1）求证：b≥0；
（2）求证：f（x）的图象被x轴所截得的线段长的取值范围是[2，3）．

Answer 1

分析：（1）由a²+（f（m₁）+f（m₂））?a+f（m₁）•f（m₂）=0，解得f（m₁）=-a或f（m₂）=-a，解方程，由条件f（1）=0，得a+b+c=0，可用反证法来证明b≥0；
（2）由f（1）=0，可得（1，0）是f（x）的图象与x轴的一个交点，由韦达定理及（1）中结论，确定出另一个根的范围，进而得到答案．

解答：解：（1）∵函数f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c），满足f（1）=0，
∴a+b+c=0．
∵a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0．．
∵a²+[f（m₁）+f（m₂）]•a+f（m₁）•f（m₂）=0，
∴[a+f（m₁）]•[a+f（m₂）]=0，
∴m₁，m₂是方程f（x）=-a的两根，
∴△=b²-4a（a+c）=b（b+4a）=b（3a-c）≥0
而a＞0，c＜0，
∴3a-c＞0，
∴b≥0．
（2）设f（x）=ax²+bx+c=0两根为x₁、x₂，
∵f（1）=0，
∴方程的一个根为1，另一根为

c

a

，
∵a＞b＞c，
且由上知b=-a-c≥0，
∴a＞-a-c≥0，
∴-2＜

c

a

≤-1，2≤|x1-x2|＜3．

点评：点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，及二次方程与二次函数的关系是解答本题的关键．