Question

12．设椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁和F₂，离心率e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，点F₂到右准线l的距离为$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）设M、N是右准线l上两动点，满足$\overrightarrow{{F_1}M}•\overrightarrow{{F_2}N}$=0．当|MN|取最小值时，求证：M，N两点关于x轴对称．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用离心率公式和准线方程，结合a，b，c的关系，可得a，b；
（Ⅱ）求出椭圆的左右焦点坐标，求出右准线方程，设出M，N的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，可得y₁y₂=-6，由基本不等式求出|MN|的最小值，即可得证．

解答 解：（1）因为$e=\frac{c}{a}$，F₂到l的距离$d=\frac{a^2}{c}-c$，
所以由题设得$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\ \frac{a^2}{c}-c=\sqrt{2}\end{array}\right.$，
解得，$c=\sqrt{2}，a=2$．
由${b^2}={a^2}-{c^2}=2，得b=\sqrt{2}$．
（Ⅱ）证明：由$c=\sqrt{2}$，a=2得${F_1}（-\sqrt{2}，0），{F_2}（\sqrt{2}，0）$．
则l的方程为$x=2\sqrt{2}$．
故可设$M（2\sqrt{2}，{y_1}），N（2\sqrt{2}，{y_2}）$．
$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=（2$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$，y₁），$\overrightarrow{{F}_{2}N}$=（2$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$，y₂），
由$\overrightarrow{{F_1}M}•\overrightarrow{{F_2}N}$=0知，3$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$+y₁y₂=0，
得y₁y₂=-6，所以y₁y₂≠0，
${y_2}=-\frac{6}{y_1}$，|$\overrightarrow{MN}$|=|y₁-y₂|=|y₁+$\frac{6}{{y}_{1}}$|=|y₁|+$\frac{6}{|{y}_{1}|}$$≥2\sqrt{6}$，
当且仅当${y_1}=±\sqrt{6}$时，上式取等号，此时y₁=-y₂．
即M，N两点关于x轴对称．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和准线方程的运用，同时考查向量的数量积的坐标表示和基本不等式的运用，属于中档题．