Question

过椭圆C：外一点A（m，0）作一直线l交椭圆于P、Q两点，又Q关于x轴对称点为Q₁，连结PQ₁交x轴于点B，
（1）若，求证：；
（2）求证：点B为一定点(，0)。

Answer 1

证明：（1）连结AQ₁，因为Q与Q₁关于x轴对称，而A在x轴上，
则在中，AB平分，
由内角平分线定理可知：，
而，
∵同向，故λ＞0且，则，
又P、B、Q₁在同一直线且与同向，
于是有：。
（2）设过A（m，0）的直线l与椭圆C：交于，
Q₁与Q关于x轴对称，则，
由及相减得，
∴，
PQ直线方程：，
而PQ过A（m，0），则有：，
而PQ₁过B，同理可求得：。
下面利用分析法证明：，
即证：， ……①
只需证：，
只需证：，
即证：， ……②
而在椭圆上，则， ……③
同理， ……④
由③×④可知②成立，从而①式得证，因此成立。
∴，∴点B为一定点（，0）。