如图所示.一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向).汽车开动的同时.在距汽车出发点O点的距离为5公里.距离公路线的垂直距离为3公里的M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望.此时他驾驶摩托车行驶了� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（2013•郑州二模）如图所示，一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶（图中的箭头方向为汽车行驶方向），汽车开动的同时，在距汽车出发点O点的距离为5公里，距离公路线的垂直距离为3公里的M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？

分析：作MI垂直公路所在直线于点I，则MI=3，OM=5，可得OI=4，且cos∠MOI=

，设骑摩托车的人的速度为v公里/小时，由余弦定理可得 (vt)2=52+(50t)2-2×5×50t×

，求得v2=25(

-8)2+900，再利用二次函数的性质求得v的最小值，以及此时他行驶的距离vt的值．

解答：解：作MI垂直公路所在直线于点I，则MI=3，∵OM=5，∴OI=4 ， ∴cos∠MOI=

．----（2分）
设骑摩托车的人的速度为v公里/小时，追上汽车的时间为t小时，
由余弦定理：(vt)2=52+(50t)2-2×5×50t×

----（6分），求得 v2=

400

+2500=25(

-8)2+900≥900，----（8分）
∴当t=

时，v的最小值为30，∴其行驶距离为vt=

公里．----（11分）
故骑摩托车的人至少以30公里/时的速度行驶才能实现他的愿望，他驾驶摩托车行驶了

公里．----（12分）

点评：本题主要考查二次函数的性质，余弦定理的应用，属于中档题．

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