Question

15．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜2π）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）若x∈[0，$\frac{π}{4}$]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函数图象可得T，由周期公式从而可求ω，由点（$\frac{π}{4}$，0）在函数图象上，结合范围0≤φ＜2π，即可解得φ的值，从而得解；
（Ⅱ）由2k$π+\frac{π}{2}$≤3x+$\frac{5π}{4}$≤2k$π+\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得函数f（x）的单调递减区间．
（Ⅲ）由x∈[0，$\frac{π}{4}$]，可得3x+$\frac{5π}{4}$∈[$\frac{5π}{4}$，2π]，从而可求f（x）的值域．

解答 解：（Ⅰ）由函数图象可得：$\frac{3}{2}$T=（$\frac{5π}{4}-\frac{π}{4}$）=π，解得：T=$\frac{2π}{3}$=$\frac{2π}{ω}$，从而可求ω=3，
由点（$\frac{π}{4}$，0）在函数图象上，
所以：2sin（3×$\frac{π}{4}$+φ）=0，
由图象可知：φ=2kπ-$\frac{3π}{4}$，k∈Z，
由0≤φ＜2π，
从而可得：φ=$\frac{5π}{4}$．
故可得：f（x）=2sin（3x+$\frac{5π}{4}$）．
（Ⅱ）由于f（x）=2sin（3x+$\frac{5π}{4}$），
由2k$π+\frac{π}{2}$≤3x+$\frac{5π}{4}$≤2k$π+\frac{3π}{2}$，k∈Z，
可解得函数f（x）的单调递减区间为：[$\frac{2kπ}{3}$-$\frac{π}{4}$，$\frac{2kπ}{3}+\frac{π}{12}$]，k∈Z，
（Ⅲ）由于f（x）=2sin（3x+$\frac{5π}{4}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{4}$]，
∴3x+$\frac{5π}{4}$∈[$\frac{5π}{4}$，2π]，
可得：f（x）=2sin（3x+$\frac{π}{4}$）∈[-2，0]．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．