Question

7．将如图一的矩形ABMD沿CD翻折后构成一四棱锥M-ABCD（如图二），若在四棱锥M-ABCD中有MA=$\sqrt{3}$．
（1）求证：AC⊥MD；
（2）求四棱锥M-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出MD⊥MA，MD⊥MC，从而MD⊥平面MAC，由此能证明AC⊥MD．
（2）取CD的中点F，连接MF，推导出AC⊥CD，从而AC⊥MD，进而AC⊥平面MCD，MF⊥平面ABCD，由此能求出四棱锥M-ABCD的体积．

解答 证明：（1）在△MAD中，$MA=\sqrt{3}$，MD=1，AD=2，
∴MA²+MD²=AD²，∴MD⊥MA，
又∵MD⊥MC，∴MD⊥平面MAC，
∴AC⊥MD．
解：（2）取CD的中点F，连接MF，
如图二，在△ACD中，$CD=AC=\sqrt{2}$，AD=2，
∴AC²+CD²=AD²，∴AC⊥CD，
由（1）可知MD⊥平面MAC，
∴AC⊥MD，∴AC⊥平面MCD，∴AC⊥MF，
在△MCD中，MC=MD=1，∴MF⊥CD，$MF=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴MF⊥平面ABCD，
∴${V_{M-ABCD}}=\frac{1}{3}{S_{四边形ABCD}}×MF=\frac{1}{3}×[\frac{1}{2}×（1+2）×1]×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．