Question

已知a、b、c是实数，函数，g(x)=ax＋b，当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1．

(1)证明：|c|≤1；

(2)证明：当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2；

(3)设a＞0，当－1≤x≤1时，g(x)的最大值为2，求f(x)．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)由已知，当－1≤x≤1时，有|f(x)|≤1． 因为x=0时，满足－1≤x≤1的条件，所以|f(0)|≤1． 而f(0)=c，即|c|≤1． (2)当a＞0时，g(x)在[－1，1]上是增函数，有g(－1)≤g(x)≤g(1)． 又g(1)=a＋b=f(1)－c，g(－1)=－a＋b=－f(－1)＋c． 代入上式，得：－f(－1)＋c≤g(x)≤f(1)－c，　　　　　　　　　　① 由绝对值不等式m＋n≤|m|＋|n|， 可得f(1)－c≤|f(1)|＋|c|，及f(－1)－c≤|f(－1)＋|c|， 再由条件|f(1)|≤1，|f(－1)|≤1，|c|≤1 及不等式的有关性质，可得 f(1)－c≤2，－f(－1)＋c≥－2，　　　　　　　　　　　　　　　　② 由①、②及不等式的性质，得：－2≤g(x)≤2， 即|g(x)|≤2． 当a＜0时，可用类似的方法证得|g(x)|≤2． 当a=0时，g(x)=b，f(x)=bx＋c， |g(x)|=|f(1)－c|≤|f(1)|＋|c|≤2． 综上得|g(x)|≤2． (3)a＞0，g(x)在[－1，1]上是增函数，其最大值在右端点处取得，即g(1)=2． 又g(1)=f(1)－c，所以c=f(1)－2． 由已证，得c≥－1． 由已知，得f(1)≤1． 所以－1≤c≤1－2=－1，c=－1． 又当－1≤x≤1时，f(x)≥－1，而c=－1，f(0)=c． 所以对任意－1≤x≤1，都有f(x)≥f(0)，即f(x)的对称轴为x=0． 由此得，解得b=0， 又g(1)=a＋b=2，所以a=2． 所以即为所求．

提示：

解析：本题是一道将一次函数、二次函数的有关性质与不等式的证明相结合的典型代数推理证明题．试图使用最基本、最朴素的材料，最常用、最一般地方法，从思维的全面性、深刻性、严密性和批判性等多个方面对演绎推理、逻辑思维能力提出较高的考查要求．我们可由证明过程来看编制意图和考查目的．