Question

已知函数f（x）=．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）指出函数f（x）在区间（，+∞）上的单调性，并加以证明．

Answer 1

解：（1）根据题意，得，解之得x或x
∴函数的定义域是（-∞，-）∪（，+∞）；
（2）∵f（x）=，
∴f（-x）===^-1=-，
可得f（-x）=-f（x），所以函数f（x）是奇函数．
（3）设g（x）==1-
设＜x₁＜x₂，则g（x₁）-g（x₂）=-4•，
因为＜x₁＜x₂，所以x₂-x₁＞0，
而2x₁+1＞0且2x₂+1＞0，可得-4•＜0，g（x₁）＜g（x₂），
∴函数g（x）是定义在区间（，+∞）上的增函数
又∵∈（0，1），∴f（x）=是区间（，+∞）上的减函数
综上所述，函数f（x）在区间（，+∞）上是单调减函数．
分析：（1）根据对数的真数必须大于0，解关于x的分式不等式即可得到函数的定义域；
（2）由函数奇偶性的定义，验证可得对定义域内任意的x，都有f（-x）=-f（x），得函数f（x）是奇函数；
（3）设g（x）==1-，利用单调性的定义证出g（x）是定义在区间（，+∞）上的增函数，再由是小于1的正数，可得f（x）=是区间（，+∞）上的减函数，得到本题答案．
点评：本题给出含有分式的对数型函数，求函数的定义域奇偶性和单调性．着重考查了分式函数、对数函数的简单性质及其证明等知识，属于中档题．